二分图博弈

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定义

1.博弈者人数为两人，双方轮流进行决策。

2.博弈状态（对应点）可分为两类（状态空间可分为两个集合），对应二分图两边（X集和Y集）。任意合法的决策（对应边）使状态从一类跳转到另一类。（正是由于这个性质使得问题可以用二分图描述）

3.不可以转移至已访问的状态。（不可重复访问点）

4.无法转移者判负。

判定

不妨设起点在二分图的X集中，那么先手只能从X集移动到Y集，后手只能从Y集移动到X集。一次游戏过程对应一条路径 。若最后停留在X集且无法移动则先手负，停留在Y集则后手负。

考虑该二分图的某个最大匹配。（注意可能存在多个匹配相同的最大匹配）

若起点s∈X不属于该最大匹配。则先手所转移到的点y∈Y一定属于最大匹配（否则s-y是一个匹配，与最大匹配矛盾）。后手沿着最大匹配的边走即可，终点t（指无法从t再走一步）一定不可能在Y集中（否则，若t在Y集中，s-...-t为一增广路，与最大匹配矛盾）。因此先手必败，后手必胜。

若起点s∈X属于该最大匹配。则将s从图中删除，再求图的最大匹配。若最大匹配数不变，则s还是不属于某最大匹配，先手必败。否则该图的任意最大匹配都包含s，则先手沿着最大匹配的边走即可，根据上面的分析，先手必胜。

BZOJ2463-[中山市选2009]谁能赢呢？

Description

Solution

显然就是一个二分图...

考虑用1*2骨牌覆盖方格, 骨牌相当于一条匹配边.

n为偶数时, 骨牌恰好覆盖整个棋盘. 整个先手方沿匹配边走, 后手方只能走非匹配边. 最后后手一定无法走;

n为奇数时, 考虑除了起点外的所有点可以被骨牌覆盖, 也就是构成一个完美匹配. 后手只需沿匹配边走, 那么先手最后一定无法走.

Code

#include
    
     using namespace std;int n;int main(){    while(cin>>n,n){        cout<<((n&1)?"Bob":"Alice")<<'\n';    }    return 0;}